常用

本周我们正式开始讲解背包问题，也是动规里非常重要的一类问题。 背包问题其实有很多细节，如果了解个大概，然后也能一气呵成把代码写出来，但稍稍变变花样可能会陷入迷茫了。 开始回顾一下本周的内容吧！ 首先对于背包的所有问题中，01背包是最最基础的，其他背包也是在01背包的基础上稍作变化。 所以我才花费这么大精力去讲解01背包。 关于其他几种常用的背包，大家看这张图就了然于胸了： 本文用动规五部曲详细讲解了01背包的二维dp数组的实现方法，大家其实可以发现最简单的是推导公式了，推导公式估计看一遍就记下来了，但难就难在确定初始化和遍历顺序上。 dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 01背包二维dp数组在遍历顺序上，外层遍历物品 ，内层遍历背包容量 和 外层遍历背包容量 ，内层遍历物品 都是可以的！ 但是先遍历物品更好理解。代码如下： 背包最大重量为4。 物品为： 来看一下对应的dp数组的数值，如图： 最终结果就是dp[2][4]。 分析一下和二维dp数组有什么区别，在初始化和遍历顺序上又有什么差异？ 最后总结了一道朴实无华的背包面试题。 要求候选人先实现一个纯二维的01背包，如果写出来了，然后再问为什么两个for循环的嵌套顺序这么写？反过来写行不行？再讲一讲初始化的逻辑。 然后要求实现一个一维数组的01背包，最后再问，一维数组的01背包，两个for循环的顺序反过来写行不行？为什么？ 这几个问题就可以考察出候选人的算法功底了。 01背包一维数组分析如下： 在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); 如果物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。 代码如下： 一维dp，分别用物品0，物品1，物品2 来遍历背包，最终得到结果如下： 只有确定了如下四点，才能把01背包问题套到本题上来。 背包的体积为sum / 2 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值 背包如何正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。 背包中每一个元素是不可重复放入。 接下来就是一个完整的01背包问题，大家应该可以轻松做出了。 这道题目其实和是非常像的。 本题其实就是尽量让石头分成重量相同的两堆，相撞之后剩下的石头最小，这样就化解成01背包问题了。 这两道题目是对dp[target]的处理方式不同。这也考验的对dp[i]定义的理解。 总体来说，本周信息量还是比较大的，特别对于对动态规划还不够了解的同学。 但如果坚持下来把，我在文章中列出的每一个问题，都仔细思考，消化为自己的知识，那么进步一定是飞速的。 有的同学可能看了看背包递推公式，上来就能撸它几道题目，然后背包问题就这么过去了，其实这样是很不牢固的。 就像是我们讲解01背包的时候，花了那么大力气才把每一个细节都讲清楚，这里其实是基础，后面的背包问题怎么变，基础比较牢固自然会有自己的一套思考过程。